1．二次関数と面積
ケン君、これから二次関数と直線で囲まれた△ABOの面積をもとめたいと思います。
二次関数の式はy＝2X２で直線ABはy＝２X＋４です。まず初めにA、Bの座標を求めましょう。
はい、わかりました。y＝2X２とy＝２X＋４を連立方程式の代入法でやってみます。
すると2X２＝２X＋４となり、左に移行します。2X２ー２Xー４＝０ この式を２で割ります。X２ーXー２＝０となったので因数分解をしてみます。
(Xー2) (X+1)=0となったので X＝２,－１です。X＝２を上の式に代入するとｙ＝８となり、Ａの座標は（2,8)です。
もう１つのX＝－１を上の式に代入するとｙ＝２となり、Bの座標は（-1,2)と決まりました。
これで面積を求めるための準備ができましたので数字をグラフに記入します。
底辺を４、高さは左と右の三角形（1＋2）を合わせて３なので式は4×3÷2＝6 答えは６です。
高さをまとめた考えはグッドです。ではつぎに進みましょう。
はい、つぎは何かな。
2．二次関数と円錐の体積
△ACOをy軸を軸として1回転させたときの体積を求めましょう。二次関数の式はy＝2X２で直線ABはy＝２X＋４です。
右図のように空洞ができた逆さまな円錐になると思います。ですから全体の円錐から空洞の部分を引きます。
円錐の体積の公式は半径×半径×π(パイ3.14)高さ×1/3なので、まず大きい円錐の体積は2×2×Π×8×1/3=32π/3です。
つぎに空洞の円錐の体積は2×2×Π×４×1/3=16π/3です。最後に引き算をします。32π/3-16π/3=16π/3 答 16π/3㎤
よくできました。では、つぎの問題です。
3．三角形を２等分する直線の求め方
今度は点Aを通る直線で△ABOを２等分します。そのときの直線の式①を求めましょう。二次関数の式はy＝2X２で直線ABはy＝２X＋４です。
２等分線をもとめるのには直線BOの中点を求めます。点Bの座標は(-1,2)で原点( 0,0 )なので中点を求める公式を使います。
点BのⅩ座標と原点のⅩ座標をたして２で割ります。同様に点BのY座標と原点のY座標をたして２で割ります。すると中点の座標は (-1/2,1)になりました。
それからどうしますか。
はい、中点の座標(-1/2,1)と点Aの座標（2,8)をｙ＝aX＋bの式に代入して連立方程式で解きます。
代入しますと１=-1/2a+b, 8=2a＋bとなり、これを解きます。a=14/5 , b=12/5です。これをy＝aX＋bにいれて完成です。 答え ｙ=14/5X+12/5
つぎは点Bを通る直線で△ABOを２等分します。そのときの直線②の式を求めましょう。二次関数の式はy＝2X２で直線ABはy＝２X＋４です。
先ほどと同様に２等分線をもとめるのには直線AOの中点を求めます。
それは直線AOを三角形の底辺とみたてて底辺の長さを同じにすれば高さは同じなので面積が等しくなるからです。
点Aの座標は(2,8)で原点(0,0)なので中点を求める公式を使います。
点BのⅩ座標と原点のⅩ座標をたして２で割ります。同様に点BのY座標と原点のY座標をたして２で割ります。すると中点の座標は (1,4)になりました。
つぎはどうしたら良いですか。
はい、y＝aX＋bの式に中点の座標(1,4)を代入します。また点Bの座標(-1,2)をy＝aX＋bの式に代入すると４＝a+b , 2=－a+bとなりました。
これらを連立方程式で解くとa=1 , b=3となりました。a , b をy＝aX＋bにいれて完成です。 答 ｙ＝Ｘ＋３
3番目は原点を通る直線で△ABOを２等分します。そのときの直線③の式を求めましょう。二次関数の式はy＝2X２で直線ABはy＝２X＋４です。
こんどはどうですか。
つぎも同じです。底辺をABとみたてて中点を求めると(1/2,5)となりました。2等分線は原点を通りますから③の直線の式はｙ＝aXに(1/2,5)を代入するとy＝10Xとなりました。答 ｙ＝10X
4．少し難易度が高い２等分線の求め方
最後にＣを通って△ABOの面積を２等分する直線の式を求めましょう。二次関数の式はy＝2X２で直線ABはy＝２X＋４です。これは中点を求める方法では解けません。それでは、どういう考え方が必要になるでしょう。
はい、△ABOの面積は６でした。直線CDで２つの図形に分けられます。その１つが四角形CBODです。
この四角形はさらにｙ軸で２つの三角形に分けられます。これらの２つの三角形の面積が△ABOの面積の半分の３であれば良いわけなので式を作ってみます。
４×１÷２＋４×X÷２＝３ ４×１÷２は△BOCを求める計算式で４×X÷２は△DOCの面積の式です。この２つの計算式を合せたものが上の（４×１÷２＋４×X÷２＝３）式です。
計算すると２+2X=3 2X=1 X=1/2 この答えを直線AOの式ｙ＝４Xに代入するとｙ＝２となりました。
これで点Dの座標は(1/2,2)です。点Cの座標は(0,4)です。これらをｙ＝aＸ＋ｂに代入すると点Ｃよりｙ＝aX＋４と表すことができます。
これに点Dの座標を代入するとa=-4となりました。よって求める式はｙ＝-4X＋4です。 答え ｙ＝－４X＋４
全体的には考え方が同じですがもう少し簡単にできます。△BOCの面積は２ですので△DOCの面積１となります。これで４×X÷２＝１として計算しても良いと思います。
そうですね。少しでもアイディアがあれば言ってください。この問題は共有する底辺がありませんので面積を半分にしてから残りの三角形の面積を考える方法を見つけたのはとっても良かったと思います。その調子で頑張りましょう。
はい、わかりました。
つぎは等積変形を利用した直線の式を求める問題です。
5．等積変形を使った直線の式の求め方
△ABEが△ABOと等しい面積になるようにy＝2X２上に点Eをとり、その際の点Eの座標と直線EOの式を求めなさい。直線ABはy＝２X＋４です。
この問題は底辺を辺AB、高さも等しい三角形と考えます。高さを同じにするためには直線ABと直線EOが平行な直線でなければなりません。
つまり、直線ABの傾きは２とでているので直線EOも2とわかります。答え y=2X 点Eの座標はいま求めたｙ＝２Ｘとy＝2X２を連立方程式の代入法で解きます。
すると2X２＝２Ｘとなり移行させますと2X２－２Ｘ＝０となります。因数分解しますと2X(Ｘ－1)=0となります。
これを解きますとＸ＝０, 1です。Ｘ＝１をどちらかの式に代入しますとｙ＝２となりました。答え（１,２）
よくできました。
等積変形は２つの要素をおさえておけば大丈夫です。１つは共通な辺はどれか。この場合は辺ABでしたね。もう１つは高さを等しくするために辺ABと傾きが同じになれば良いことでした。
たいてい直線ABは座標が与えられていて直線の式を求めなければなりませんが、この問題に限り最初から直線の式がわかっていたのでらくでしたね。
そうですね。考え方の勉強だと思いました。
6．まとめ
二次関数の中点を求める公式や等積変形に関する重要な要素２つ（底辺をどこに決めるのか、そして高さを同じにする）を理解したうえで平行な直線を考える問題でした。それをノートに分類しておきましょう。
たとえ高校入試で難しい二次関数の問題が出題されても解決する糸口がつかめるのではないかと思います。
