【高校受験】内接円の描き方と内接円の角度や半径を求める公式作りを詳しく解説

理由

三角形ABCの内角（180°）は〇〇✖✖△△でできています。その半分である〇✖△は90°です。内心の角度∠BIC=〇〇✖△なので90°＋〇で表せます。　

∠BIC=90°＋〇から90°を引くと〇が残ります。頂角Aは〇〇なので（∠BIC－90°) ×２になります。すると次のような公式が生まれます。

頂角A＝（内心の角度∠BIC-90）×２

まず初めに上の式の左辺と右辺を入れ替えます。

（内心の角度∠BIC-90）×２＝頂角A　⇒　２で割ります（内心の角度∠BIC-90）＝頂角A/2

⇒　90を移行します　内心の角度∠BIC＝頂角A/2＋90　

このようにして式が変形されて公式ができました。

解説

＊頂角A＝（内心の角度∠BIC-90）×２を使う場合

頂角A＝（120－90)×２=60　　答え　60°

＊公式を忘れた場合の解法

まず△IBCに着目します。内心の角度∠BIC＝120°なので残りの角×△は60°です。

つぎは∠ABCと∠ACBに目を移します。すると××△△で成り立っていることがわかります。×△は60°なので××△△はその2倍の120°です。

最後に頂角Aは180°から120°を引くと60°と出てきます。　答え　60°

解説

＊内心の角度∠BIC＝頂角A/2＋90の公式を使う場合

内心の角度∠BIC＝50/2＋90＝25＋90＝115　　答え　115°

＊公式を忘れた場合の解法

まず△ABCに着目します。頂角A＝50°なので残りの角∠ABCと∠ACB（××△△）は130°です。

つぎは△IBCに目を移します。∠IBCと∠ICBは×△で成り立っていることがわかります。×△は130°の半分なので65°です。よって180°から65°を引けば∠BICが求められます。よって115°となります。　答え　115°

解説

まず初めに△ABIの面積から求めましょう。底辺はaで高さはｒなのでar/2で表せます。同様に△BCIもbr/2となり、さらに△CAIもcr/2で表せました。

これら３つの面積を合せると△ABＣの面積＝ar/2+br/2+cr/2となります。この式を半径を求める式に変形していきます。

まず左右を入れ替えます。ar/2+br/2+cr/2＝△ABＣの面積　

つぎに左右に２を掛けます。するとar+br+cr=2×△ABＣの面積に変化します。そして左辺の共通であるｒを()の外に出しました。r(a+b+c)=2×△ABＣの面積　

もう一つの作業で終了です。両辺を(a+b+c)で割ります。最終的には次のようになりました。

r=2×△ABＣの面積/a+b+c

このようにして式が変形され公式ができました。これで半径が求まります。いかがでしたか。

解説

＊r=2×△ABＣの面積/a+b+cの公式を使う方法

△ABＣの面積は6×8÷2＝24、各辺の長さを合せると6＋8＋10＝24になるので公式にこれらの数字を入れます。

r=2×24/24＝２　答え　２cm

＊半径ｒを使って3つ辺の長さから求める方法

数学カテゴリーの【高校入試】内接円の半径を求める２パターン＆二次関数の面積、体積、二等分線、等積変形を解説にあります。是非ご覧ください。