１．大小の整数の決め方
まず大小の整数の決め方について考えていきましょう。これから差が５ある場合の文字を使った表し方です。
＊大きい数が小さい数より５はなれているときのXを使った決め方は2通りあります。
- 大きい整数をXとしたとき、小さい整数は X －５
- 小さい整数をXとしたとき、大きい整数は X ＋５
つぎは練習問題と解説です。上のXを使った決め方を参考にして解いてください。
練習問題
差が３で積が40になる整数を求めなさい。
解説
まず大きい数字をXと決めます。差が3なので小さい数字はＸ－3となります。これで式を作りますとX(Ｘ－３）＝40となります。
これを展開して移行しますとX²－３X－40=0です。これを因数分解して（X－８）（X＋５）＝０です。よってX＝8 X＝－５になります。
Xが８のときはＸ－3に８を代入すると５になります。またXが－5のときはX－３に－5を代入すると－８になります。
答え 8と5、－５と－８
先ほどは2つの整数でしたがこんどは３つの連続する整数についてです。下に例を示しましたのでこれらを覚えましょう。
＊連続する３つの整数の決め方は3通りあります。
- 一番小さい整数をXにすると真ん中の整数はX＋１で一番大きい整数はX+2です。並べるとX、X＋１、X+2 です。
- 真ん中の整数をXとすると一番小さい整数はＸ－1で一番大きい整数はX+１です。並べるとＸ－1、X、X＋１です。
- 一番大きい整数をXとすると真ん中の整数はX－１で一番小さい整数はＸ－２です。並べるとＸ－２、X－１、Xです。
つぎは練習問題です。上の3つの設定の仕方からどれかを選んで解いてみてください。解説は一番上の設定の仕方でします。
練習問題
連続する3つの整数で一番小さい整数と一番大きい整数の和が真ん中の整数の平方に等しい。これらの数を求めなさい。
解説
一番小さい整数をXにすると真ん中の整数はX＋１で一番大きい整数はX+2で表せます。
一番小さい整数と一番大きい整数の和はX＋（X＋２）となります。真ん中の整数の平方は(X＋１)²です。これで式を作りますとX＋（X＋２）＝(X＋１)²となります。
これを展開して移行しますとX²ー１=0です。これを因数分解して（X－１）（X＋１）＝０です。よってX＝１ X＝－１になります。
Xが１のときはＸ＋１に１を代入すると２になります。つぎにX+2に1を代入しますと３になります。またXが－１のときはX＋１に－１を代入すると０になります。つぎにX+2に－１を代入しますと１になります。
答え （１，２，３）（－１，０，１）
２．連続する３つの偶数の決め方
こんどは３つの連続する偶数の決め方についてです。下に例を示しましたのでこれらを覚えましょう。
＊連続する３つの偶数の決め方は3通りあります。
- 偶数は２の倍数なので2Xと表せます。つぎの数は２大きくなっているので2X＋２です。3つ目はさらに2大きくなっているので２X＋４です。並べると２Ｘ、２X＋２、２X＋４です。
- 真ん中の偶数を２Xと決めると小さい数は2X－2、大きい数は２X＋２と表せます。並べると２Ｘ－２、２X、２X＋２です。
- 一番大きい数を２Xと決めると真ん中の数は2X－2、一番小さい数は2X－4です。並べると２Ｘ－４、２X－２、２Xです
つぎは練習問題です。上記の設定の仕方を参考にして解いてください。解説は一番上の設定の仕方でします。
練習問題
連続する3つの偶数で一番小さい偶数と一番大きい偶数の和の２倍が真ん中の偶数の平方に等しい。これらの数を求めなさい。
解説
一番小さい整数を２Xにすると真ん中の数は２X＋２、一番大きい整数は２X+４で表せます。
一番小さい偶数と一番大きい偶数の和の２倍は２(２X＋２X＋４)と表せます。真ん中の偶数の平方は(２X＋２)²です。これで式を作りますと２(２X＋２X＋４)＝(２X＋２)²となります。
これを展開して移行しますと４X²－１=0です。これを因数分解して４(X－１)(X＋１)＝０です。よってX＝１ X＝－１になります。
Xが１のときは2Xに１を代入すると２になります。つぎに2Ｘ＋2に１を代入すると４になります。さいごに２X+４に１を代入しますと６になります。
またXが－１のときは2Xに－１を代入すると－２になります。つぎに２X＋２に－１を代入すると０になります。さいごに２X+４にー１を代入しますと２になります。
答え （２，４，６）（ー２，０，２）
３．連続する３つの奇数の決め方
こんどは連続する３つの奇数の決め方についてですが偶数の２Xから1大きいか1小さいかなどと考えて奇数を設定しています。設定の仕方は下記のとおりです。
＊奇数は２X＋１、2X－1などで表せます。
- 偶数に１を足したり引いたりすると奇数になりますので一番小さい数を2X＋1と決めると次の数は2大きいので2X＋3、一番大きい数は2X＋5と決めることができます。並べると2X＋1、２X+3、２X＋5です。
- 真ん中の数を2X＋1と決めると一番小さい数は2小さいので2X－1、一番大きい数は真ん中の数より2大きいので2X＋3です。並べると２Ｘ-1、２X+1、２X＋3です。
- 一番大きい数を2X＋1と決めると真ん中の数は２小さいので2X－1、一番小さい数はさらに２小さいので2X－３です。並べると２Ｘ－3、２X－1、２X＋1です。
つぎは練習問題です。設定の仕方が少し難しいですが頑張りましょう。解説は一番上の設定の仕方でします。
練習問題
連続する3つの奇数でそれぞれの数の平方の和が83になる。これらの数を求めなさい。
一番小さい数を2X＋1と決めると次の数は2大きいので2X＋3、一番大きい数は2X＋5となります。それぞれの数の平方の和は(2X＋1)²+(2X＋3)²＋(2X＋5)²と表せます。そしてこれで式をつくりますと(2X＋1)²+(2X＋3)²＋(2X＋5)²＝83
これを展開して移行しますと12X²＋36X－48=0です。これを因数分解して12(X＋４)(X－１)＝０です。よってX＝－４ X＝１になります。
Xが－4のとき2X＋1に－４を代入すると－７、つぎに2X＋3に－４を代入すると－５、さいごに2X＋5に－4を代入すると－３になります。
Xが１のとき2X＋1に１を代入すると３、つぎに2X＋3に１を代入すると５、さいごに2X＋5に１を代入すると７になります。
答え （－７，－５，－３）（３，５，７）
４．まとめ
今回の整数の表し方についてまとめてみました。下記をご覧ください。これらの表し方を活用して文章問題に取り組んでください。
大小の表し方の例：大きい数をXで表した場合、5つ小さい数はＸ－5です。
連続する３つの整数の例：一番小さい数をXとすると、X、X＋１、X+2で表せます。
連続する３つの偶数の例：一番小さい数を２Xとすると、２Ｘ、２X＋２、２X＋４で表せます。
連続する３つの奇数の例：一番小さい数を2X＋1とすると、2X＋1、２X+3、２X＋5で表せます。
